Álvarez es oriundo del municipio de Tlalnepantla, Estado de México, y desde muy joven ingresó a los equipos infantiles del Club Pachuca para después enrolarse a las Águilas del América.
En 2014, con apenas 17 años, ingresó al equipo del América sub-17. Álvarez demostró talento y determinación para cumplir su sueño de ser futbolista profesional, pues al principio se tenía que trasladar cuatro horas para entrenar desde su casa a las instalaciones de las Águilas, en el sur de la Ciudad de México.
El entonces técnico del América, el argentino Ricardo La Volpe, fue quien le dio la oportunidad de debutar en Primera División en octubre de 2016, durante un duelo entre las Águilas y Santos Laguna. Álvarez tenía 19 años.
Con el paso del tiempo, el mediocampista mexicano se hizo de un puesto titular en el club de Coapa. Y en febrero de 2017 debutó con la selección mexicana en un duelo amistoso contra Islandia.
Posteriormente, fue pieza clave para que el América ganara el título de liga frente a Cruz Azul en el Torneo Apertura 2018 y la Copa MX en 2019. Esto llamó la atención del entrenador de la selección mexicana, el colombiano Juan Carlos Osorio, quien le dio la confianza y lo puso a jugar en la Copa del Mundo de Rusia 2018, a la edad de 20 años.
Sus logros, su nivel futbolístico y su juventud le valieron fichar con el Ajax de Países Bajos en julio de 2019 por un contrato de US$ 16 millones. El futbolista mexicano tenía 21 años cuando llegó a Ámsterdam para debutar como jugador profesional en Europa.
Álvarez llegó al Ajax con la enorme responsabilidad de suplir las salidas de Frenkie de Jong, Lasse Schöne y Matthijs de Ligt, luego de haber tenido una exitosa temporada en la Champions League, en la que el equipo llegó hasta semifinales.
De Jong se fue al FC Barcelona, Schöne llegó al Genoa de Italia y De Ligt a la Juventus de Italia. Edson pudo suplir a estos tres jugadores en varios partidos de su etapa con el Ajax porque tiene la flexibilidad de jugar como defensa central y medio defensivo. En Países Bajos, Álvarez ganó dos ligas y una copa.
En el Mundial de Qatar 2022 el entonces técnico de México, el argentino Gerardo Martino, convocó a Álvarez para jugar en la justa como titular.
En agosto de 2023 fue traspasado al West Ham, de Inglaterra, por alrededor de US$ 40 millones.